Question

【題目】如圖，某同學在一張硬紙板的中間畫了一條4cm長的線段AB，過AB的中點O畫直線CO，使∠AOC=60°，在直線CO上取一點P，作△PAB并剪下(紙板足夠大)，當剪下的△PAB為直角三角形時，AP的長為_____.

Answer 1

【答案】2或2或2

【解析】

利用分類討論，當∠ABP=90°時，如圖2，由對頂角的性質可得∠AOC=∠BOP=60°，利用銳角三角函數可得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當∠APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結論；當∠PAB=90°時，如圖4，利用銳角三角函數即可得AP的長.

當∠APB=90°時，情況一（如圖1）：

∵AO=BO，

∴PO=BO，

∵∠AOC=60°，

∴∠BOP=60°，

∴△BOP為等邊三角形，

∴AP=ABsin60°=4×=2；

情況二：如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO，

∵∠AOC=60°，

∴△AOP為等邊三角形，

∴AP=AO=2，

當∠ABP=90°時（如圖2），

∵∠AOC=∠BOP=60°，

∴BP=OBtan60°=2，

在直角三角形ABP中，

AP==2，

當∠PAB=90°時，如圖4

∵∠AOC=60°，

∴AP=OAtan60°=2

故答案為：2或2或2．