Question

【題目】拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．

（1）求點A，B，D的坐標

（2）如圖①，拋物線翻折后，點D落在點E處．當點E在△ABC內（含邊界）時，求t的取值范圍；

（3）如圖②，當t=0時，若Q是“M”形新圖象上一動點，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，直接寫出出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（，0），點B的坐標為（3，0），點D的坐標為（，）；（2）≤t≤；（3）存在，點P的坐標為（，0）、（，0）或（，0）、（1，0）．

【解析】

（1）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標，再利用配方法即可找出拋物線的頂點D的坐標；
（2）由點D的坐標結合對稱找出點E的坐標，根據點B、C的坐標利用待定系數法可求出直線BC的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可得出關于t的一元一次不等式組，解之即可得出t的取值范圍；
（3）假設存在，設點P的坐標為（m，0），則點Q的橫坐標為m，分m＜或m＞3及≤m≤3兩種情況，利用勾股定理找出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，進而可找出點P的坐標，此題得解．

解：（1）當y=0時，有﹣x2+x﹣1=0，

解得：x1=，x2=3，

∴點A的坐標為（，0），點B的坐標為（3，0）．

∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，

∴點D的坐標為（，）．

（2）∵點E、點D關于直線y=t對稱，

∴點E的坐標為（，2t﹣）．

當x=0時，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，

∴點C的坐標為（0，﹣1）．

設線段BC所在直線的解析式為y=kx+b，

將B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，

解得： ，

∴線段BC所在直線的解析式為y=x﹣1．

∵點E在△ABC內（含邊界），

∴，

解得：≤t≤．

（3）當x＜或x＞3時，y=- x2+ x-1；
當≤x≤3時，y=x2-x+1．
假設存在，設點P的坐標為（m，0），則點Q的橫坐標為m．
①當m＜或m＞3時，點Q的坐標為（m，-m2+m-1）（如圖1），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（-m2+m）2=m2+1+m2+（-m2+m-1）2，
整理，得：m1=，m2=，
∴點P的坐標為（，0）或（，0）；
②當≤m≤3時，點Q的坐標為（m，m2- m+1）（如圖2），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2-m+2）2=m2+1+m2+（m2-m+1）2，
整理，得：11m2-28m+12=0，
解得：m3=，m4=2，
∴點P的坐標為（，0）或（1，0）．
綜上所述：存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P，點P的坐標為（，0）、（ ，0）、（1，0）或（，0）．