Question

【題目】已知，如圖1，我們在2018年某月的日歷中標出一個十字星，并計算它的“十字差”（將十字星左右兩數，上下兩數分別相乘再將所得的積作差，稱為該十字星的“十字差”)該十字星的十字差為，再選擇其它位置的十字星，可以發現“十字差”仍為48．

（1）如圖2，將正整數依次填入5列的長方形數表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發現相應的“十字差”也是一個定值，則這個定值為 ．

（2）若將正整數依次填入6列的長方形數表中，不同位置十字星的“十字差”是一個定值嗎?如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

（3）若將正整數依次填入k列的長方形數表中(k≥3)，繼續前面的探究，可以發現相應“十字差”為與列數有關的定值，請用表示出這個定值，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）24；（2）是，這個定值是35，理由見解析；（3）定值為，證明見解析.

【解析】

（1）根據題意求出相應的“十字差”，即可確定出所求定值；
（2）設十字星中心的數為x，則十字星左右兩數分別為x-1，x+1，上下兩數分別為x-6，x+6，進而表示出十字差，化簡即可得證；
（3）設十字星中心的數為y，表示出十字星左右兩數，上下兩數，進而表示出十字差，化簡即可得證．

解：（1）根據題意得：，

故答案為：24；

（2）是，這個定值是35．理由如下：

設十字星中心的數為，則十字星左右兩數分別為，，上下兩數分別為，，

十字差為：．

故不同位置十字星的“十字差”是一個定值，這個定值為35；

(3)定值為，證明如下：

設設十字星中心的數為y，則十字星左右兩數分別為，，上下兩數分別為，，

十字差為：，

故這個定值為．