Question

【題目】定義：如圖1，平面上兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線AB、CD的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)(p，q)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點(diǎn)有1個(gè)，即點(diǎn)O．

（1）“距離坐標(biāo)”為1，0的點(diǎn)有 個(gè)；

（2）如圖2，若點(diǎn)M在過(guò)點(diǎn)O且與直線AB垂直的直線l上時(shí)，點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”為p，q，且BOD 150，請(qǐng)寫出p、q的關(guān)系式并證明；

（3）如圖3，點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”為，且DOB 30，求OM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)2；(2)；(3)

【解析】

（1）根據(jù)“距離坐標(biāo)”的定義結(jié)合圖形判斷即可；

（2）過(guò)M作MN⊥CD于N，根據(jù)已知得出，，求出∠MON＝60°，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出即可解決問(wèn)題；

（3）分別作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接、、，連接、分別交、于點(diǎn)、點(diǎn)，首先證明，求出，，然后過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出EF即可．

解：（1）由題意可知，在直線CD上，且在點(diǎn)O的兩側(cè)各有一個(gè)，共2個(gè)，

故答案為：2；

（2）過(guò)作于，

∵直線于，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（3）分別作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接、、，連接、分別交、于點(diǎn)、點(diǎn)．

∴，，

∴，，，

∴，

∴△OEF是等邊三角形，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，

∴，

在中，，則，

在中，，，

∴，

∴．