Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E為線段BC上一點，AE交CD于G，且GC＝GE，EF⊥BC交AB于點F．

（1）求證：AE2＝AFAB；

（2）連FG，若BE＝2CE，求tan∠AFG；

（3）如圖2，當tanB＝　 　時，CE＝FE（請直接寫出結果，不需要解答過程）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠AFG＝；（3）．

【解析】

（1）先證明∠AEF=∠B，然后再證明△AEF∽△ABE，最后根據相似三角形的性質即可證明；

（2）設CE=a.則BE=2a，證明△AEC∽△BAC，得到AC=a,易得∠AFG=60°，最后根據特殊角的三角函數值求解即可；

（3）設BE=a，CE=EF=b，證明 △AEC∽△BAC.得到AC=，證明△BEF∽△BCA得到a、b的關系，最后根據正切的定義解答即可．

（1）證明：∵GC＝GE，

∴∠GCE＝∠GEC，

∵CD⊥AB，

∴∠DCE+∠B＝90°，

∵EF⊥BC，

∴∠GEC+∠AEF＝90°，

∴∠AEF＝∠B，又∠EAF＝∠BAE，

∴△AEF∽△ABE，

∴＝，

∴AE2＝AFAB；

（2）設CE＝a，則BE＝2a，

∵∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，

∴∠DCB＝∠CAB，

∵∠GCE＝∠GEC，

∴∠CAB＝∠GEC，又∠ACE＝∠BCA＝90°，

∴△AEC∽△BAC，

∴＝，即＝，

解得，AC＝a，

∴∠CAE＝∠BAE＝∠AEF＝30°，

∴FA＝FE，

∵∠GAC＝∠GCA＝30°，

∴GA＝GC，

∵GC＝GE，

∴GA＝GE，又FA＝FE，

∴∠AFG＝60°，

∴tan∠AFG＝；

（3）設BE＝a，CE＝EF＝b，

∵△AEC∽△BAC，

∴＝，即＝，

解得，AC2＝b（a+b），

∴AC＝，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BCA，

∴＝，即＝，

整理得，b2+ab﹣a2＝0，

則（）2+﹣1＝0，

解得：＝，

∴tanB＝＝

故答案為：．