Question

【題目】已知，如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ，OC，以下四個結論：①AD=BE；②三角形CPQ是等邊三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE其中正確的結論有______（把你認為正確的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據等邊三角形的三邊都相等，三個角都是60°，可以證明△ACD與△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=BE，所以①正確；對應角相等可得∠CAD=∠CBE，然后證明△ACP與△BCQ全等，根據全等三角形對應角相等可得PC=PQ，從而得到△CPQ是等邊三角形，所以②正確；再根據等腰三角形的性質可以找出相等的角，求出∠BOA=60°，根據三角形的內角和定理求出∠BPO不是90°，即可判斷③；根據三角形面積公式求出CN=CM，根據角平分線性質即可判斷④．

解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD與△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，故①小題正確；

∵△ACD≌△BCE（已證），

∴∠CAD=∠CBE，

∵∠ACB=∠ECD=60°（已證），

∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，

∴∠ACB=∠BCQ=60°，

在△ACP與△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴CP=CQ，

∵∠PCQ=180°-60°-60°=60°，

∴△PCQ是等邊三角形，故②小題正確；

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∴∠AOB=∠DAC+∠CEB=∠DAC+∠ADC=∠DCE=60°，

∵○CBE+∠CEB=∠ACB=60°，而BC≠CE，

∴∠CPB≠30°，

∴∠BPD≠90°，

∴③錯誤；

過C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，

∵△BCE≌△ACD，

∴S△BCE=S△ACD，BE=AD，

∴×BE×CM=×AD×CN，

∴CM=CN，

∴OC平分∠AOE，故④正確．

故答案為：①②④．