Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P，Q和圖形G，給出如下定義：點P，Q都在圖形G上，且將點P的橫坐標與縱坐標互換后得到點Q，則稱點P，Q是圖形G的一對“關聯點”．例如，點P（1，2）和點Q（2，1）是直線y＝﹣x+3的一對關聯點．

（1）請寫出反比例函數y＝的圖象上的一對關聯點的坐標：　 　；

（2）拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點C（0，﹣1）．點A，B是拋物線y＝x2+bx+c的一對關聯點，直線AB與x軸交于點D（1，0）．求A，B兩點坐標．

（3）⊙T的半徑為3，點M，N是⊙T的一對關聯點，且點M的坐標為（1，m）（m＞1），請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B兩點坐標為（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3．

【解析】

（1）根據反比例函數性質即可寫出.

（2）根據題意可求出拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣1， 直線AB與x軸交于點D（1，0）得到直線AB的解析式為y＝﹣x＋1，聯立直線AB及拋物線解析式成方程組即可解出A，B兩點坐標.

（3）點M，N關于直線y＝x對稱得到⊙T的圓心在直線y＝x上，進而求得M1M2的值即可求出m的取值范圍.

解：（1）∵2×3＝3×2＝6，

∴點（2，3），（3，2）是反比例函數y＝的圖象上的一對關聯點．

故答案為：（2，3），（3，2）．

（2）∵拋物線y＝x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝1，

∴﹣＝1，

解得：b＝﹣2．

∵拋物線y＝x2＋bx＋c與y軸交于點C（0，﹣1），

∴c＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．

由關聯點定義，可知：點A，B關于直線y＝x對稱．

又∵直線AB與x軸交于點D（1，0），

∴直線AB的解析式為y＝﹣x＋1．

聯立直線AB及拋物線解析式成方程組，得：，

解得：，，

∴A，B兩點坐標為（﹣1，2）和（2，﹣1）．

（3）由關聯點定義，可知：點M，N關于直線y＝x對稱，

∴⊙T的圓心在直線y＝x上．

∵⊙T的半徑為3，

∴M1M2＝×2×3＝3，

∴m的取值范圍為1＜m≤1＋3．