Question

觀察計算：

當，時，與的大小關系是_________________．

當，時，與的大小關系是_________________．

探究證明：

如圖所示，為圓O的內接三角形，為直徑，過C作于D，設，BD=b．

（1）分別用表示線段OC，CD­；

（2）探求OC與CD表達式之間存在的關系（用含a，b的式子表示）．

歸納結論：

根據上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關系是：______________．

實踐應用：

要制作面積為4平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結論，求出鏡框周長的最小值．

 

Answer 1

【答案】

觀察計算：當，時，＞；當，時，=．

探究證明：（1）OC＝，；

（2）當a=b時，OC=CD，=；a≠b時，OC＞CD，＞．

結論歸納：．

實踐應用：周長最小為4米．

【解析】

試題分析：觀察計算：把，和，分別代入與計算，即可作出判斷；

探究證明：（1）由于OC是直徑AB的一半，則OC易得．通過證明△ACD∽△CBD，可求CD；

（2）分a=b，a≠b討論可得出與的大小關系；

實踐應用：通過前面的結論長方形為正方形時，周長最小．

試題解析：觀察計算：當，時，＞

當，時，=．

探究證明：

（1）∵AB=AD+BD=2OC，

∴OC＝

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB=90°．

∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠A=∠BCD．

∴△ACD∽△CBD．

∴．即CD²=AD•BD=ab，解得；

（2）當a=b時，OC=CD，=；

a≠b時，OC＞CD，＞．

結論歸納：．

實踐應用

設長方形一邊長為x米，則另一邊長為米，設鏡框周長為l米，

則，當，即x=1（米）時，鏡框周長最小．

此時四邊形為正方形時，周長最小為4米．

考點：1.幾何不等式；2.相似三角形的判定與性質；3.圓周角定理