Question

平面直角坐標系中，正方形AOBC如圖所示，點C的坐標為（a，a），其中a使得式子有意義，反比例函數的圖象經過點C.

（1）求反比例函數解析式.
（2）若有一點D自A向O運動，當滿足AD²=OD·AO時，求此時D點坐標.
（3）若點D在AO上、G為OB的延長線上的點，AD=BG，連接AB交DG于點H，寫出AB－2HB與AD之間的數量關系（直接寫出不需證明）.
（4）如圖，點E為正方形AOBC的OB邊一點，點F為BC上一點且∠CAE=∠FEA=60°，求直線EF的解析式.

Answer 1

（1）（2）（0，）（3）AB－2HB=AD（4）

（1）
把C（1，1）代入      ∴（3分）
（2）OA=1，OD=1－AD        AD²=OD·AO=1·（1－AD）
AD²+AD－1=0       AD=   ∵AD＞0   ∴AD=
OD=      故D（0，）（7分）
（3）AB－2HB=AD（10分）
（4）∵∠CAE=∠FEA=60°    ∴∠OAE=30°   OA=1，設OE=x，則AE=2x
  解得，OE=
∠BEF=180°－∠OEA－∠AEF=60°    BE=1－OE=1   FE=2
BF=    ∴E（）   F（1，）
設解析式為
      解得
∴    （14分）
（1）通過有意義，求得a=1,從而求得C點坐標和反比例函數的解析式
（2）通過AD²=OD·AO求得AD的長，從而求得D點坐標
（3）因為若點D在AO上、G為OB的延長線上的點，AD=BG，連接AB交DG于點H，則利用三角形相似得到結論。
（4）因為點E為正方形AOBC的OB邊一點，點F為BC上一點且∠CAE=∠FEA=60°，那么設出設OE=x，則AE=2x，利用勾股定理得到x的值，然后根據直角三角形BEF，得到點B,F
的坐標，設出直線的解析式，然后代入點的坐標，得參數的值，解得。