Question

如圖14，已知點A（－1，0），B（4，0），點C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90⁰，拋物線經過A、B、C三點，其頂點為M.

求拋物線的解析式；

試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關系，并加以證明；

在拋物線上是否存在點N，使得?如果存在，那么這樣的點有幾個？如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4，

∴△ACO∽△ABO 。∴，∴OC²=OA•OB=4。

∴OC=2。∴點C（0，2）。

∵拋物線經過A、B兩點，

∴設拋物線的解析式為：，將C點代入上式，得：

，解得。

∴拋物線的解析式：，即。

（2）直線CM與以AB為直徑的圓相切。理由如下：

如圖，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，連接CD。

由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，則點D為Rt△ABC斜邊AB的中點，CD=AB。

由（1）知：，

則點M（），ME=。

而CE=OD=，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。

又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。

∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。

∵CD是⊙D的半徑，∴直線CM與以AB為直徑的圓相切。

（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=，

則：。

過點B作BF⊥BC，且使BF=h=，過F作直線l∥BC交x軸于G。

Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，

BG=BF÷sin∠BGF=。

∴G（0，0）或（8，0）。

易知直線BC：y= x+2，則可設直線l：y= x+b，

將G點坐標代入，得：b=0或b=4，則：

直線l：y= x或y=x+4；

聯立拋物線的解析式，得：

 ，或。

解得或或。

∴拋物線上存在點N，使得，這樣的點有3個：

。

【解析】二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質，二次函數的性質，直線與的位置關系，平行線的性質。

【分析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用相似三角形能求出OC的長，即可確定C點坐標，再利用待定系數法能求出該拋物線的解析式。

（2）證明CM垂直于過點C的半徑即可。

（3）先求出線段BC的長，根據△BCN的面積，可求出BC邊上的高，那么做直線l，且直線l與直線BC的長度正好等于BC邊上的高，那么直線l與拋物線的交點即為符合條件的N點。