Question

如圖14，已知點A（－1，0），B（4，0），點C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90⁰，拋物線經過A、B、C三點，其頂點為M.
求拋物線的解析式；
試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關系，并加以證明；
在拋物線上是否存在點N，使得?如果存在，那么這樣的點有幾個？如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4，
∴△ACO∽△ABO 。∴，∴OC²=OA•OB=4。
∴OC=2。∴點C（0，2）。
∵拋物線經過A、B兩點，
∴設拋物線的解析式為：，將C點代入上式，得：
，解得。
∴拋物線的解析式：，即。
（2）直線CM與以AB為直徑的圓相切。理由如下：
如圖，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，連接CD。

由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，則點D為Rt△ABC斜邊AB的中點，CD=AB。
由（1）知：，
則點M（），ME=。
而CE=OD=，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。
又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。
∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。
∵CD是⊙D的半徑，∴直線CM與以AB為直徑的圓相切。
（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=，
則：。
過點B作BF⊥BC，且使BF=h=，過F作直線l∥BC交x軸于G。

Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，
BG=BF÷sin∠BGF=。
∴G（0，0）或（8，0）。
易知直線BC：y= x+2，則可設直線l：y= x+b，
將G點坐標代入，得：b=0或b=4，則：
直線l：y= x或y=x+4；
聯立拋物線的解析式，得：
，或。
解得或或。
∴拋物線上存在點N，使得，這樣的點有3個：
。

解析