Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D是半圓AB的三等分點，過點C作AD延長線的垂線CE，垂足為E．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

（3）若弦CN過△ABC的內心點M，MN＝，求CN．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） ；（3）CN＝．

【解析】

（1）由已知條件得出，由圓周角定理得出∠BOC=∠A，證出OC∥AD，再由已知條件得出CE⊥OC，即可證出CE為⊙O的切線；

（2）連接OD，OC，由，得到∠COD=×180°=60°，根據CD∥AB，得到S△ACD=S△COD，根據扇形的面積公式即可得到結論．

（3）過點B作BP⊥CN，證明△MCB∽△BCN，得，代入相關數據即可得解.

證明：（1）如圖1，連接OD，OC，

∵點C、D為半圓O的三等分點，

∴，

∴∠BOC＝∠BAE，

∴OC∥AD，

∵CE⊥AD，

∴CE⊥OC，

∴CE為⊙O的切線；

（2）∵，

∴∠COD＝×180°＝60°，

∵CD∥AB，

∴S△ACD＝S△COD，

∴圖中陰影部分的面積＝S扇形COD＝＝；

（3）如圖2，過點B作BP⊥CN，

∵點M是△ACB的內心，

∴∠ACN＝∠BCN＝45°，∠CBM＝∠ABC＝30°，

∵BP⊥CN，

∴∠NCB＝∠CBP＝45°，

∴CP＝BP＝BC，

∵∠CAB＝∠CNB＝30°，

∴PN＝PB＝BC，

∴CN＝PN+CP＝BC，

∵∠CBM＝∠CNB＝30°，∠MCB＝∠NCB，

∴△MCB∽△BCN，

∴，

∴BC2＝BC×（BC﹣2），

∴BC＝2，

∴CN＝×2＝．