Question

【題目】閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數．

小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造△AP′C，連接PP′，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．

請你回答：圖1中∠APB的度數等于　 　．

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

（1）如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，PB=1，PD=，則∠APB的度數等于　 　，正方形的邊長為　 　；

（2）如圖4，在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=2，PB=1，PF=，則∠APB的度數等于　 　，正六邊形的邊長為　 　．

Answer 1

【答案】閱讀材料：∠APB=∠AP′C=150°；（1） （2）120°，

【解析】試題分析：根據旋轉的性質結合勾股定理的逆定理，等邊三角形的判定和性質即可得到結果；

（1）參照題目給出的解題思路，可將△ABP繞點A逆時針旋轉90°，得到△A DP′，根據旋轉的性質知：△ABP≌△A DP′，進而可判斷出△APP′是等腰直角三角形，可得∠A P′P=45°；然后得到△DPP′是直角三角形，即可求得結果；

（2）方法同（2），再結合正六邊形的性質即可求得結果．

由題意得△APP′是等邊三角形，則∠A P′C=60°

∵

∴△CPP′是直角三角形

∴∠CP′P=90°

∴∠AP′C=150°

∴∠APB=150°；

（1）將△ABP繞點A逆時針旋轉90°，得到△A DP′，

由題得△ABP≌△A DP′，△APP′是等腰直角三角形，

∴∠AP′P=45°

∵

∴△DPP′是直角三角形，

∴∠DP′P=90°

∴∠DP′A=135°

∴∠APB=135°，正方形的邊長為；

（2）方法同（2），∠APB的度數等于120°，正六邊形的邊長為