Question

【題目】如圖，已知在正方形ABCD中，連結AC，在AC上截取AE＝AD，作△ADE的外接圓交AB于點F，連結DF交AC于點M，連結EF，下列選項不正確的是（　　）

A.

B.AM＝EC

C.∠EFB＝∠AFD

D.S四邊形BCMF＝S四邊形ADEF

Answer 1

【答案】D

【解析】

連接FG，根據正方形的性質得到∠DAF＝∠ADC＝90°，由圓周角定理得到∠DGF＝90°，推出四邊形AFGD是矩形，得到DG＝AF，求得＝，故A正確；根據等腰三角形的性質得到∠ADE＝∠AED，等量代換得到∠EFB＝∠AFD，故C正確；推出△DEF是等腰直角三角形，得到DE＝EF，根據全等三角形的性質得到∠AEF=∠ADF=∠CDE，再證明△ADM≌△CDE即可得到，故B正確；連接BE，求得S四邊形ADEF＝S△ADE+S△AEF＝S△ADE+S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，由于S四邊形BCMF＜S△ABC，得到S四邊形BCMF＜S四邊形ADEF，故D錯誤．

解：連接FG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAF＝∠ADC＝90°，

∴DF是圓的直徑，

∴∠DGF＝90°，

∴四邊形AFGD是矩形，

∴DG＝AF，

∴＝，故A正確；

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∵∠AFD＝∠AED，∠BFE＝∠ADE，

∴∠EFB＝∠AFD，故C正確；

∵DF是圓的直徑，

∴∠DEF＝90°，

∵∠DFE＝∠DAC＝45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DE＝EF，

∵∠CDE+∠ADE＝∠AEF+∠AED＝90°，

∴∠CDE＝∠EAF，

∴△CDE≌△AEF（SAS），

∴∠AEF=∠ADF=∠CDE，

又∵AD=CD，∠DAM=∠ECD=45°，

∴△ADM≌△CDE，

∴AM=CE，故B正確；

連接BE，

∵AE＝BC＝AD，CE＝AF，∠CAF＝∠BCE＝45°，

∴△AEF≌△CBE（SAS），

∴S四邊形ADEF＝S△ADE+S△AEF＝S△ADE+S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，

∵S四邊形BCMF＜S△ABC，

∴S四邊形BCMF＜S四邊形ADEF，故D錯誤，

故選：D．