Question

【題目】已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC 交線段AE于F.

（1）如圖1，若AE=AD，ADC=60, 請直接寫出線段CD與AF+BE之間所滿足的等量關系;

（2）如圖2, 若AE=AD，你在（1）中得到的結論是否仍然成立, 若成立,對你的結論加以證明, 若不成立, 請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）CD=AF+BE.（2）（1）中的結論仍然成立.證明見解析.

【解析】試題分析：(1)、利用截長補短法可以得出線段之間的關系；(2)、延長EA到G，使得AG=BE，連結DG，根據平行四邊形的性質得出△ABE和△DAG全等，從而得出DG=AB，根據角度之間的關系得出DG=GF，即CD=GF=AF+AG=AF+BE得出答案．

試題解析：(1)、CD=AF+BE．

(2)、解：（1）中的結論仍然成立．

證明：延長EA到G，使得AG=BE，連結DG，

∵ 四邊形ABCD是平行四邊形， ∴ AB=CD，AB∥CD，AD=BC，

∵ AE⊥BC于點E， ∴ ∠AEB=∠AEC=90， ∴∠AEB=∠DAG=90， ∴ ∠DAG=90，

∵ AE=AD， ∴ △ABE≌△DAG， ∴∠1=∠2， DG=AB， ∴∠GFD=90-∠3，

∵ DF平分∠ADC， ∴∠3=∠4，

∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180-∠FAD-∠3=90-∠3， ∴∠GDF=∠GFD，∴ DG=GF.

∴ CD=GF=AF+AG= AF + BE， 即 CD = AF +BE．