Question

【題目】某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖．已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個(gè)銷售旺季的80天里，銷售單價(jià)p(元/千克)與時(shí)間第t(天)之間的函數(shù)關(guān)系為：

p＝，日銷售量y(千克)與時(shí)間第t(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)求日銷售量y與時(shí)間t的函數(shù)解析式；

(2)哪一天的日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤(rùn)不低于2 400元？

(4)在實(shí)際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈(zèng)m(m＜7)元給村里的特困戶．在這前40天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2t＋200(1≤t≤80，t為整數(shù))；（2）第30天的日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2 450元；（3）共有21天符合條件（4）＜m＜7.

【解析】

試題（1）根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據(jù)“總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷售量”列出函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷；

（3）求出w=2400時(shí)x的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案；

（4）依據(jù)（2）中相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，確定其對(duì)稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

試題解析：（1）設(shè)解析式為y=kt+b，將（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數(shù)）；

（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w，則w=（p﹣6）y，①當(dāng)1≤t≤40時(shí)，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴當(dāng)t=30時(shí)，w最大=2450；

②當(dāng)41≤t≤80時(shí)，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴當(dāng)t=41時(shí)，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2450元．

（3）由（2）得：當(dāng)1≤t≤40時(shí)，w=﹣（t﹣30）2+2450，令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函數(shù)w=﹣（t﹣30）2+2450圖象可知，當(dāng)20≤t≤40時(shí)，日銷售利潤(rùn)不低于2400元，而當(dāng)41≤t≤80時(shí)，w最大=2301＜2400，∴t的取值范圍是20≤t≤40，∴共有21天符合條件．

（4）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w，根據(jù)題意，得：

w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，其函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為t=2m+30，∵w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)可知2m+30≥40，解得：m≥5，又m＜7，∴5≤m＜7．