Question

【題目】已知二次函數圖象的頂點坐標為（0，1），且過點（﹣1， ），直線y=kx+2與y軸相交于點P，與二次函數圖象交于不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）． （注：在解題過程中，你也可以閱讀后面的材料）
附：閱讀材料
任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩根的積等于常數項與二次項系數的比．
即：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1 ， x2 ，
則：x1+x2=﹣ ，x1x2=
能靈活運用這種關系，有時可以使解題更為簡單．
例：不解方程，求方程x2﹣3x=15兩根的和與積．
解：原方程變為：x2﹣3x﹣15=0
∵一元二次方程的根與系數有關系：x1+x2=﹣ ，x1x2=
∴原方程兩根之和=﹣ =3，兩根之積= =﹣15．

（1）求該二次函數的解析式．
（2）對（1）中的二次函數，當自變量x取值范圍在﹣1＜x＜3時，請寫出其函數值y的取值范圍；（不必說明理由）
（3）求證：在此二次函數圖象下方的y軸上，必存在定點G，使△ABG的內切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于二次函數圖象的頂點坐標為（0，1），

因此二次函數的解析式可設為y=ax2+1．

∵拋物線y=ax2+1過點（﹣1， ），

∴ =a+1．

解得：a= ．

∴二次函數的解析式為：y= x2+1

（2）解：當x=﹣1時，y= ，

當x=0時，y=1，

當x=3時，y= ×32+1= ，

結合圖1可得：當﹣1＜x＜3時，y的取值范圍是1≤y＜

（3）①證明：過點A作y軸的對稱點A′，連接BA′并延長，交y軸于點G，連接AG，如圖2，

則點A′必在拋物線上，且∠AGP=∠BGP，

∴△ABG的內切圓的圓心落在y軸上．

∵點A的坐標為（x1，y1），

∴點A′的坐標為（﹣x1，y1）．

∵點A（x1，y1）、B（x2，y2）在直線y=kx+2上，

∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．

∴點A′的坐標為（﹣x1，kx1+2）、點B的坐標為（x2，kx2+2）．

設直線BG的解析式為y=mx+n，則點G的坐標為（0，n）．

∵點A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直線BG上，

∴ ．

解得： ．

∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直線y=kx+2與拋物線y= x2+1的交點，

∴x1、x2是方程kx+2= x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的兩個實數根．

∴由根與系數的關系可得；x1+x2=4k，x1x2=﹣4．

∴n= =﹣2+2=0．

∴點G的坐標為（0，0）．

∴在此二次函數圖象下方的y軸上，存在定點G（0，0），使△ABG的內切圓的圓心落在y軸上．

②解：過點A作AC⊥OP，垂足為C，過點B作BD⊥OP，垂足為D，如圖2，

∵直線y=kx+2與y軸相交于點P，

∴點P的坐標為（0，2）．

∴PG=2．

∴S△ABG=S△APG+S△BPG

= PGAC+ PGBD

= PG（AC+BD）

= ×2×（﹣x1+x2）

=x2﹣x1

=

=

=

=4 ．

∴當k=0時，S△ABG最小，最小值為4．

∴△GAB面積的最小值為4．

【解析】（1）設二次函數解析式為y=ax2+1，由于點（﹣1， ）在二次函數圖象上，把該點的坐標代入y=ax2+1，即可求出a，從而求出二次函數的解析式．（2）先分別求出x=﹣1，x=0，x=3時y的值，然后結合圖象就可得到y的取值范圍．（3）過點A作y軸的對稱點A′，連接BA′并延長，交y軸于點G，連接AG，如圖2，則點A′必在拋物線上，且∠AGP=∠BGP，由此可得△ABG的內切圓的圓心落在y軸上．由于點A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）在直線y=kx+2上，從而可以得到點A的坐標為（x1 ， kx1+2）、A′的坐標為（﹣x1 ， kx1+2）、B的坐標為（x2 ， kx2+2）．設直線BG的解析式為y=mx+n，則點G的坐標為（0，n）．由于點A′（﹣x1 ， kx1+2）、B（x2 ， kx2+2）在直線BG上，可用含有k、x1、x2的代數式表示n．由于A、B是直線y=kx+2與拋物線y= x2+1的交點，由根與系數的關系可得：x1+x2=4k，x1x2=﹣4．從而求出n=0，即可證出：在此二次函數圖象下方的y軸上，存在定點G（0，0），使△ABG的內切圓的圓心落在y軸上．由S△ABG=S△APG+S△BPG ， 可以得到S△ABG=x2﹣x1= =4 ，所以當k=0時，S△ABG最小，最小值為4．
【考點精析】認真審題，首先需要了解根與系數的關系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商)，還要掌握確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)的相關知識才是答題的關鍵．