Question

（2011•北京）在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F．
（1）在圖1中證明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數．

Answer 1

解：（1）如圖1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）∠BDG=45°
（3）解：分別連接GB、GE、GC，

∵AD∥BC，∠ABC=120°
∴∠ECF=∠ABC=120°
∵FG∥CE且FG=CE，
∴四邊形CEGF是平行四邊形，
由（1）得CE=CF．
∴四邊形CEGF是菱形，
∴GE=EC，①
∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°，
∴△ECG是等邊三角形．
∴EG=CG，∠GEC=∠EGC，
∴∠GEC=∠FGC，
∴∠BEG=∠DCG，②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
在?ABCD中，AB=DC，
∴BE=DC，③
由①②③得△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，∠1=∠2
∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°，
∴∠BDG==60°

略