Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點P由B點出發沿BC方向向點C勻速運動，同時點Q由A點出發沿AB方向向點B勻速運動，它們的速度均為1cm/s，當P點到達C點時，兩點同時停止運動，連接PQ，設運動時間為t s，解答下列問題：

（1）當t為何值時，P，Q兩點同時停止運動？
（2）設△PQB的面積為S，當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值；
（3）當△PQB為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作CE⊥AB于E，

∵DC∥AB，DA⊥AB，

∴四邊形AECD是矩形，

∴AE=CD=5，CE=AD=4，

∴BE=3，

∴BC= ，

∴BC＜AB，

∴P到C時，P、Q同時停止運動，

∴t= （秒），

即t=5秒時，P，Q兩點同時停止運動

（2）

解：由題意知，AQ=BP=t，

∴QB=8﹣t，

作PF⊥QB于F，則△BPF～△BCE，

∴ ，即 ，

∴BF= ，

∴S= QBPF= × （8﹣t）= =﹣ （t﹣4）2+ （0＜t≤5），

∵﹣ ＜0，

∴S有最大值，當t=4時，S的最大值是

（3）

解：∵cos∠B= ，

① 當PQ=PB時（如圖2所示），則BG= BQ， = = ，解得t= s，

②當PQ=BQ時（如圖3所示），則BG= PB， = = ，解得t= s，

③當BP=BQ時（如圖4所示），則8﹣t=t，

解得：t=4．

綜上所述：當t= s， s或t=4s時，△PQB為等腰三角形

【解析】（1）通過比較線段AB，BC的大小，找出較短的線段，根據速度公式可以直接求得；（2）由已知條件，把△PQB的邊QB用含t的代數式表示出來，三角形的高可由相似三角形的性質也用含t的代數式表示出來，代入三角形的面積公式可得到一個二次函數，即可求出S的最值；（3）根據等腰三角形的性質和余弦公式列出等式求解，即可求的結論．
【考點精析】利用相似三角形的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．