Question

【題目】課外興趣小組活動時，老師出示了如下問題：如圖①，已知在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B與∠D互補，求證：AB＋AD＝AC.

小敏反復探索，不得其解．她想，可先將四邊形ABCD特殊化，再進一步解決該問題．

(1)由特殊情況入手，添加條件：“∠B＝∠D”，如圖②，可證AB＋AD＝AC.請你完成此證明．

(2)受到(1)的啟發，在原問題中，添加輔助線：過C點分別作AB，AD的垂線，垂足分別為點E，F，如圖③.請你補全證明過程．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）如果：“∠B=∠D”，根據∠B與∠D互補，那么∠B=∠D=90°，又因為∠DAC=∠BAC=30°，因此我們可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC．

（2）按（1）的思路，作好輔助線后，我們只要證明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的條件．根據AAS可證兩三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法進行計算即可．

(1)證明：∵∠B＝∠D＝90°，

AC平分∠DAB，

∠DAB＝60°，∴CD＝CB，

∠CAB＝∠CAD＝30°.

設CD＝CB＝x，則AC＝2x.

由勾股定理，得AD＝CD＝x，AB＝CB＝x.

∴AD＋AB＝x＋x＝2x＝AC，即AB＋AD＝AC.

(2)解：由(1)知，AE＋AF＝AC.

∵AC為角平分線，CF⊥AD，CE⊥AB，

∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°.

∵∠ABC與∠D互補，

∠ABC與∠CBE也互補，

∴∠D＝∠CBE，

∴△CDF≌△CBE(AAS)．

∴DF＝BE.∴AB＋AD＝AB＋(AF＋FD)＝(AB＋BE)＋AF＝AE＋AF＝AC.