Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm．P、Q兩點同時從A點出發，分別以1cm/秒和2cm/秒的速度沿A?B?C?D?A運動，當Q點回到A點時，P、Q兩點即停止運動，設點P、Q運動時間為t秒．
（1）當P、Q分別在AB邊和BC邊上運動時，設以P、B、Q為頂點的三角形面積為s，請寫出s關于t的函數解析式及自變量t的取值范圍；
（2）在整個運動過程中，t取何值時，PQ與BD垂直？

Answer 1

分析：（1）當P、Q分別在AB邊和BC邊上運動時，運動時間t滿足5＜t＜10，△PBQ的米娜及就可以用時間t表示出來，從而得到函數解析式；
（2）首先以B為原點建立平面直角坐標系，使BC落在x軸正半軸，BA落在y軸正半軸上，根據條件易求直線BD的解析式中的一次項系數是

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．兩直線互相垂直時，一次項系數一定互為負倒數．因而直線PQ的一次項系數是-2．分兩種情況：①點P在AB上，點Q在BC上；②點P在BC上，點Q在AD上．針對每一種情況，都可以將P、Q的坐標用含t的代數式表示出來，代入直線PQ的解析式就可以解出t的值．

解答：解：（1）當P、Q分別在AB邊和BC邊上運動時，運動時間t滿足5＜t＜10，BQ=2t-10，BP=10-t，
因而以P、B、Q為頂點的三角形面積為s=

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×（2t-10）（10-t），
即s=-t²+15t-50（5＜t＜10）；

（2）以B為原點建立平面直角坐標系，使BC落在x軸正半軸，BA落在y軸正半軸上．
∵D（20，10）在直線BD上，∴直線BD的解析式為y=

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x．
∵兩直線互相垂直時，一次項系數一定互為負倒數，
∴直線PQ的一次項系數是-2，
設直線PQ的解析式為y=-2x+b．
分兩種情況：①當點P在AB上，點Q在BC上時，
BP=10-t，BQ=2t-10，
∴P（0，10-t），Q（2t-10，0）．
把點P、Q的坐標分別代入y=-2x+b，得10-t=b，0=-2（2t-10）+b，
解得t=6，b=4；
②點P在BC上，點Q在AD上時，
BP=t-10，AQ=60-2t，
∴P（t-10，0），Q（60-2t，10）．
把點P、Q的坐標分別代入y=-2x+b，得0=-2（t-10）+b，10=-2（60-2t）+b，
解得t=25，b=30．
綜上所述，t=6或t=25．

點評：本題是函數與矩形相結合的問題，根據圖形求出函數的解析式是解決本題的關鍵．