Question

【題目】如圖,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AD交AB于點E,M為AE的中點,BF⊥BC交CM的延長線于點F,BD=4,CD=3.下列結論：①∠AED=∠ADC;② ;③ACBE=12;④3BF=4AC;其中正確結論的個數有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

選項①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，∠EAD=∠DAC；

②易證△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于6；

③根據相似三角形的判定定理得出△BED∽△BDA，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；

④連接DM，可證DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易證△FMB∽△CMA，得比例線段求解．

∠AED=90°∠EAD,∠ADC=90°∠DAC，

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠DAC，

∴∠AED=∠ADC.

故①選項正確；

∵∠EAD=∠DAC,∠ADE=∠ACD=90°,

∴△ADE∽△ACD，得DE:DA=DC:AC=3:AC，但AC的值未知，

故②不一定正確；

由①知∠AED=∠ADC，

∴∠BED=∠BDA，

又∵∠DBE=∠ABD，

∴△BED∽△BDA，

∴DE:DA=BE:BD，由②知DE:DA=DC:AC，

∴BE:BD=DC:AC，

∴ACBE=BDDC=12.

故③選項正確；

連接DM，則DM=MA.

∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，

∴DM∥BF∥AC，

由DM∥BF得FM:MC=BD:DC=4:3；

由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF:AC=FM:MC=4:3，

∴3BF=4AC.

故④選項正確.

綜上所述，①③④正確，共有3個.

故選C.