Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+

2

2

x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）證明：△ABC為直角三角形；
（3）在拋物線上除C點(diǎn)外，是否還存在另外一個(gè)點(diǎn)P，使△ABP是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=-

1

2

x²+

2

2

x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，分別將x=0，y=0代入求得A、B、C的坐標(biāo)；
（2）由（1）得到邊AB，AC，BC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理來判定△ABC為直角三角形；
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得另一點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

2

x²+

2

2

x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴-

1

2

x²+

2

2

x+2=0．即x²-

2

x-4=0．
解之得：x₁=-

2

，x₂=2

2

．
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（-

2

，0）、B（2

2

，0）．（2分）
將x=0代入y=-

1

2

x²+

2

2

x+2，得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；（3分）

（2）∵AC=

6

，BC=2

3

，AB=3

2

，
∴AB²=AC²+BC²，則∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；（6分）

（3）當(dāng)PC∥x軸，即P點(diǎn)與C點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱點(diǎn)，而C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）
設(shè)y=2，把y=2代入y=-

1

2

x²+

2

2

x+2得：-

1

2

x²+

2

2

x+2=2，
∴x₁=0，x₂=

2

．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

，2）．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0；直角三角形的判定，二次函數(shù)的對(duì)稱性等知識(shí)點(diǎn)．