Question

【題目】如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC，點A在x軸的負半軸上，點B是y軸上的一個動點，點C在點B的上方，

（1）如圖1當點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（0，1）時，求點C的坐標；

（2）設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b）．過點C作CD⊥y軸于點D，在點B運動過程中（不包含△ABC的一邊與坐標軸重合的情況），猜想線段OD的長與a、b的數量關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下如圖4，當x軸平分∠BAC時，BC交x軸于點E，過點作CF⊥x軸于點F．說明此時線段CF與AE的數量關系（用含a、b的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣1，4）；（2）OD=a﹣b；（3）aAE+bCF=﹣a（a+b）．

【解析】

（1）先確定出OA=3，OB=1，進而判斷出△AOB≌△BDC，即可得出BD=3，CD=1，即可得出結論；

（2）分三種情況，同（1）的方法即可得出結論；

（3）先確定出OF=CD=﹣b，CF=OD=b﹣a，進而得出AF=OA+OF=﹣a﹣b，在判斷出△AOB∽△CFE，即可得出EF=（b﹣a），進而得出AE=AF﹣EF=﹣a﹣b﹣（b﹣a），即可得出結論．

解：（1）如圖1，

∵點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（0，1），

∴OA=3，OB=1，

過點C作CD⊥y軸于D，

∴∠BCD+∠CBD=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBD+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠BCD，

在△AOB和△BDC中，，

∴△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=3，CD=OB=1，

∴OD=OB+BD=4，

∴C（﹣1，4）；

（2）當點B在y軸正半軸上時，

如圖1，∵點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），

∴OA=|a|=﹣a，OB=|b|=b，

由（1）知，△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=﹣a，CD=OB=b，

∴OD=OB+BD=b+（﹣a）=b﹣a，

當點B在y軸負半軸上，點C在第一象限時，如圖2，

∵點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），

∴OA=|a|=﹣a，OB=|b|=﹣b，

由（1）知，△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=﹣a，CD=OB=﹣b，

∴OD=BD﹣OB=（﹣a）﹣（﹣b）=b﹣a，

當點B在y軸負半軸，點C在第四象限時，如圖3，

∵點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），

∴OA=|a|=﹣a，OB=|b|=﹣b，

由（1）知，△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=﹣a，CD=OB=﹣b，

∴OD=OB﹣BD=﹣b﹣（﹣a）=a﹣b；

（3）如圖4，

∵點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），

∴OA=|a|=﹣a，OB=|b|=﹣b，由（1）知，△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=﹣a，CD=OB=﹣b，

∴OD=BD﹣OB=（﹣a）﹣（﹣b）=b﹣a，

∵CF⊥OA于F，

∴四邊形ODCF是矩形，

∴OF=CD=﹣b，CF=OD=b﹣a，

∴AF=OA+OF=﹣a﹣b，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠OAC=∠OAB=22.5°，

∴∠ECF=∠ACF﹣∠ACB=90°﹣∠OAC﹣∠ACB=22.5°=∠OAB，

∵∠AOB=∠CFE，

∴△AOB∽△CFE，

∴，

∴，

∴EF=（b﹣a），

∴AE=AF﹣EF=﹣a﹣b﹣（b﹣a），

∵CF=b﹣a，

∴AE=﹣a﹣b﹣CF，

∴aAE+bCF=﹣a（a+b）．