Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A，C分別在x軸、y軸上，雙曲線y＝kx﹣1（k≠0，x＞0）與邊AB、BC分別交于點N、F，連接ON、OF、NF．若∠NOF＝45°，NF＝2，則點C的坐標為_____．

Answer 1

【答案】(0，+1)

【解析】

將△OAN繞點O逆時針旋轉90°，點N對應N′，點A對應A′，由旋轉和正方形的性質即可得出點A′與點C重合，以及F、C、N′共線，通過角的計算即可得出∠N'OF＝∠NOF＝45°，結合ON′＝ON、OF＝OF即可證出△N'OF≌△NOF（SAS），由此即可得出N′M＝NF＝2，再由△OCF≌△OAN即可得出CF＝N，通過邊與邊之間的關系即可得出BN＝BF，利用勾股定理即可得出BN＝BF＝，設OC＝a，則N′F＝2CF＝2（a﹣），由此即可得出關于a的一元一次方程，解方程即可得出點C的坐標．

將△OAN繞點O逆時針旋轉90°，點N對應N′，點A對應A′，如圖所示．

∵OA＝OC，

∴OA′與OC重合，點A′與點C重合．

∵∠OCN′+∠OCF＝180°，

∴F、C、N′共線．

∵∠COA＝90°，∠FON＝45°，

∴∠COF+∠NOA＝45°．

∵△OAN旋轉得到△OCN′，

∴∠NOA＝∠N′OC，

∴∠COF+∠CON'＝45°，

∴∠N'OF＝∠NOF＝45°．

在△N'OF與△NOF中，

，

∴△N′OF≌△NOF（SAS），

∴NF＝N'F＝2．

∵△OCF≌△OAN，

∴CF＝AN．

又∵BC＝BA，

∴BF＝BN．

又∠B＝90°，

∴BF2+BN2＝NF2，

∴BF＝BN＝．

設OC＝a，則CF＝AN＝a﹣．

∵△OAN旋轉得到△OCN′，

∴AN＝CN'＝a﹣，

∴N'F＝2（a﹣），

又∵N'F＝2，

∴2（a﹣）＝2，

解得：a＝+1，

∴C（0，+1）．

故答案是：（0，+1）．