Question

【題目】如圖，拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且∠ACO＝∠CBO．

（1）求線段OC的長度；

（2）若點D在第四象限的拋物線上，連接BD、CD，求△BCD的面積的最大值；

（3）若點P在平面內，當以點A、C、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）2；（3）(2，2)，(6，﹣2)或(﹣6，﹣2)

【解析】

（1）由拋物線的解析式先求出點A，B的坐標，再證△AOC∽△COB，利用相似三角形的性質可求出CO的長；

（2）先求出拋物線的解析式，再設出點D的坐標（m，m2﹣m﹣2），用含m的代數式表示出△BCD的面積，利用函數的性質求出其最大值；

（3）分類討論，分三種情況由平移規律可輕松求出點P的三個坐標．

（1）在拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）中，

當y＝0時，x1＝﹣2，x2＝4，

∴A（﹣2，0），B（4，0），

∴AO＝2，BO＝4，

∵∠ACO＝∠CBO，∠AOC＝∠COB＝90°，

∴△AOC∽△COB，

∴，即，

∴CO＝2；

（2）由（1）知，CO＝2，

∴C（0，﹣2）

將C（0，﹣2）代入y＝a（x+2）（x﹣4），

得，a＝，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2，

如圖1，連接OD，

設D（m，m2﹣m﹣2），

則S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△BOC

＝×2m+×4（﹣m2+m+2）﹣×4×2

＝﹣m2+2m

＝﹣（m﹣2）2+2，

根據二次函數的圖象及性質可知，當m＝2時，△BCD的面積有最大值2；

（3）如圖2﹣1，當四邊形ACBP為平行四邊形時，由平移規律可知，點C向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度得到點B，所以點A向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度得到點P，因為A（﹣2，0），所以P1（2，2）；

同理，在圖2﹣2，圖2﹣3中，可由平移規律可得P2（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）；

綜上所述，當以點A、C、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P的坐標為（2，2），（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）．