Question

【題目】如圖，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=，點P為線段BE延長線上一點，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD，線段BE與CD相交于點F

（1）求證：；

（2）連接BD，請你判斷AC與BD有什么位置關系？并說明理由；

（3）設PE=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC∥BD；（3）．

【解析】（1）證明：∵△BCE和△CDP均為等腰直角三角形，∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，∴△BCE∽△DCP，∴；

（2）解：AC∥BD，理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，∴∠PCE=∠BCD，又∵，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD=∠CEP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD，∴AC∥BD；

（3）解：如圖所示：作PM⊥BD于M，∵AC=，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，∴BE=CE=4，∵△PCE∽△DCB，∴，即，∴BD=，∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x，∴PM=，∴△PBD的面積：S=BDPM==，∴．