Question

【題目】問題提出：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN． 下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE，即∠NMC=∠MAE．
（下面請你完成余下的證明過程）
（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點，則∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由．
（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，請你作出猜想：當∠AMN=時，結論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：如圖1，

在邊AB上截取AE=MC，連接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC，

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=45°，

∴∠AEM=135°，

∵N是∠DCP的平分線上一點，

∴∠NCP=45°，

∴∠MCN=135°，

在△AEM與△MCN中，

，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN

（2）解：結論AM=MN還成立，

證明：如圖2，在邊AB上截取AE=MC，連接ME．

在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC，

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE，BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=60°，

∴∠AEM=120°，

∵N是∠ACP的平分線上一點，

∴∠ACN=60°，

∴∠MCN=120°，

在△AEM與△MCN中，

，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN

（3）
【解析】解決問題：（3）解：∵當AM=MN時，△AEM≌△MCN， 此時∠NMC=∠MAE，
又∵∠AMN=180°﹣∠NMC﹣∠AMB，∠MAE=180°﹣∠BAM﹣∠AMB，
∴∠AMN=∠B= ，
∴將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，則
當∠AMN= 時，結論AM=MN仍然成立．
所以答案是：
【考點精析】認真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)，還要掌握正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)的相關知識才是答題的關鍵．