Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對(duì)稱中心為點(diǎn)P，點(diǎn)F為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，設(shè)它們的面積和為S1 ．

（1）求證：∠APE=∠CFP；
（2）設(shè)四邊形CMPF的面積為S2 ， CF=x， ．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；
②當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱時(shí)，求y的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠EPF=45°，

∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；

而在△PFC中，由于PC為正方形ABCD的對(duì)角線，則∠PCF=45°，

則∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，

∴∠APE=∠CFP

（2）

解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，

∴△APE∽△CFP，則 ．

而在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，則AC= AB= ，

又∵P為對(duì)稱中心，則AP=CP= ，

∴AE= = = ．

如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，PG⊥BC于點(diǎn)G，

P為AC中點(diǎn)，則PH∥BC，且PH= BC=2，同理PG=2．

S△APE= = ×2× = ，

∵陰影部分關(guān)于直線AC軸對(duì)稱，

∴△APE與△APN也關(guān)于直線AC對(duì)稱，

則S四邊形AEPN=2S△APE= ；

而S2=2S△PFC=2× =2x，

∴S1=S正方形ABCD﹣S四邊形AEPN﹣S2=16﹣ ﹣2x，

∴y= = = + ﹣1．

∵E在AB上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)在BC上運(yùn)動(dòng)，且∠EPF=45°，

∴2≤x≤4．

令 =a，則y=﹣8a2+8a﹣1，當(dāng)a= = ，即x=2時(shí)，y取得最大值．

而x=2在x的取值范圍內(nèi)，代入x=2，則y最大=4﹣2﹣1=1．

∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y= + ﹣1（2≤x≤4），y的最大值為1．

②圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，

而此兩塊圖形也關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對(duì)稱，

則EB=BF，即AE=FC，

∴ =x，解得x= ，

代入x= ，得y= ﹣2．

【解析】（1）利用正方形與三角形的相關(guān)角之間的關(guān)系可以證明結(jié)論；
（2）本問關(guān)鍵是求出y與x之間的函數(shù)解析式．①首先分別用x表示出S1與S2 ， 然后計(jì)算出y與x的函數(shù)解析式．這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其最大值；②注意中心對(duì)稱、軸對(duì)稱的幾何性質(zhì)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．