Question

【題目】某學校的校門是伸縮門（如圖1），伸縮門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30厘米．校門關閉時，每個菱形的銳角度數為60°（如圖2）；校門打開時，每個菱形的銳角度數從60°縮小為10°（如圖3）．問：校門打開了多少米？（結果精確到1米，參考數據：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．

Answer 1

【答案】解：如圖，
校門關閉時，取其中一個菱形ABCD．
根據題意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△BAD是等邊三角形，
∴BD=AB=0.3米，
∴大門的寬是：0.3×20≈6（米）；
校門打開時，取其中一個菱形A1B1C1D1 ．
根據題意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米．
∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1 ， ∠B1A1O1=5°，
∴在Rt△A1B1O1中，
B1O1=sin∠B1A1O1A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），
∴B1D1=2B1O1=0.05232米，
∴伸縮門的寬是：0.05232×20=1.0464米；
∴校門打開的寬度為：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）．
故校門打開了5米．

【解析】先求出校門關閉時，20個菱形的寬即大門的寬；再求出校門打開時，20個菱形的寬即伸縮門的寬；然后將它們相減即可．
【考點精析】關于本題考查的菱形的性質，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能得出正確答案．