Question

如圖，已知：AB是⊙O的直徑，BC、CD分別是⊙O的切線，切點分別為B、D，E是BA和CD的延長線的交點．
（1）猜想AD與OC的位置關系，并加以證明；
（2）設AD•OC的積為S，⊙O的半徑為r，試探究S與r的關系；
（3）當r=2，sin∠E=

1

3

時，求AD和OC的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由切線長定理可證得∠COD=∠COB，由圓周角定理得到∠DAB=

1

2

∠BOD=

1

2

（∠COB+∠COD）=∠COB，再由同位角相等，兩直線平行得AD∥OC；
（2）連接BD，可證得Rt△ABD∽Rt△OCB?

AD

OB

=

AB

OC

，S=AD•OC=AB•OB=2r•r=2r²，即S=2r²；
（3）在Rt△OED中，

OD

OE

=sin∠E=

1

3

?OE=3OD，OA=OD?AE=2OA，由AD∥OC?

AD

OC

=

AE

OE

?AD=

2

3

OC又∵AD•OC=2r²=8，由此得到關于AD，OC的方程組，解之即可求出OC，AD的值．

解答：解：（1）猜想：AD∥OC，
證明：連接OD，
∵CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，
∴CB=CD，∠CDO=∠CBO=90°，
∠OCB=∠OCD，
∴∠COD=∠COB；
又∵∠DAB=

1

2

∠BOD=

1

2

（∠COB+∠COD）
∴∠DAB=∠COB，
∴AD∥OC．

（2）連接BD．
在△ABD和△OCB中，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠OBC=90°，
又∵∠COB=∠BAD
∴Rt△ABD∽Rt△OCB，
∴

AD

OB

=

AB

OC

，
S=AD•OC=AB•OB=2r•r=2r²，
即S=2r²；

（3）在Rt△OED中，
∵∠ODE=90°，sin∠E=

1

3

，
∴

OD

OE

=sin∠E=

1

3

，
∴OE=3OD．
∵OA=OD，
∴AE=2OA；
∵AD∥OC，
∴

AD

OC

=

AE

OE

，
∴AD=

2

3

OC，
又∵AD•OC=2r²=8，AD＞0，OC＞0，
∴

AD•OC=8 AD= 2 3 OC

，
解之，得OC=2

3

，AD=

4

3

3

．
即AD，OC的值分別為

4

3

3

，2

3

．

點評：本題利用了切線長定理，切線的性質，直角三角形的性質，等邊對等角相似三角形的判定和性質，正弦的概念，平行線的判定和性質等知識求解，綜合性比較強．