Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且．

（1）求證：直線CP是⊙O的切線．

（2）若，，求直徑AC的長及點B到AC的距離．

（3）在第（2）的條件下，求的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）AC=5，B到AC的距離為：4；

（3）.

【解析】

（1））根據∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，從而得到∠BCP+∠BCA=90°，證得直線CP是⊙O的切線；

（2）作BD⊥AC于點D，得到BD∥PC，從而利用sin∠BCP= sin∠DBC，求得DC=2，再根據勾股定理求得點B到AC的距離，連接AN,然后再在直角三角形中利用三角函數求得AC即可；

（3）由BD∥PC求得△ABD∽△APC，利用對應邊成比例求得CP、BP的長度，從而求得△BCP的周長.

解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，

∴2∠BCP+2∠BCA=180°，

∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°，

又∵AC是⊙O的直徑，

∴直線CP是⊙O的切線；

（2）如圖：

作BD⊥AC于點D，

∵PC⊥AC，

∴BD∥PC，

∴∠PCB=∠DBC

∵BC=2，sin∠BCP=，

∴sin∠BCP= sin∠DBC=，解得：DC=2，

∴由勾股定理得：BD=4，

∴點B到AC的距離為4；

連接AN，在Rt△ACN中，CN= ,

∴AC==5；

（3）∵CD=2，

∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，

∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC=5，

∵BD∥CP，

∴△ABD∽△APC，

∴，即，

∴CP=，PB=,

∴△BCP的周長為BC+CP+BP=++=.