Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90度．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖甲，線段CF、BD之間的位置關系為

 

，數量關系為

 

．
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖乙，①中的結論是否仍然成立為什么（要求寫出證明過程）
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．且∠BCA=45°時，
①請你判斷線段CF、BD之間的位置關系，并說明理由（要求寫出證明過程）．
②若AC=4

2

，CF=3．求正方形ADEF的邊長（要求寫出計算過程）．

Answer 1

分析：（1）①根據正方形的邊相等，得AD=AF，根據正方形的角是直角，得∠BAD=∠CAF，再根據SAS證明△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質進行分析；
②和①中的證明思路類似，只是證明夾角的時候，是直角加上公共的一部分；
（2）作輔助線，構造和（1）中類似的圖形進行證明；作構造的等腰直角三角形底邊上的高，結合全等三角形的性質以及等腰三角形的三線合一求得AD所在的直角三角形的兩條直角邊，然后根據勾股定理進行計算．

解答：解：（1）①垂直，相等．
②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．
證明：∵正方形ADEF，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
即：∠DAB=∠FAC，
∵AB=AC，AD=AF，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABC=90°，
即CF⊥BD．

（2）①當∠BCA=45°，CF⊥BD，如圖丙
證明：過點A作AG⊥AC于A交BC于點G，
∴∠AGC+∠ACG=90°，
∵∠ACG=45°，
∴∠AGC=∠ACG=45°，
∴AC=AG，
與（1）②同理，CF⊥GD，即CF⊥BD．
②解：過點A作AH⊥BC于點H，
與（1）②同理，CF⊥GD，
∵AC=AG，AC=4

2

，CF=3，
∴GD=3，AG=4

2

，
∴在Rt△ACG中，GC=

AG2+AC2

=8，
∴CD=GC-GD=5，
∵AC=AG，AH⊥GC，
∴GH=CH=

1

2

GC=4，
∴DH=CD-CH=1，
∵在Rt△ACG中，GH=CH，
∴AH=

1

2

GC=4，
∴在Rt△ADH中，
AD=

AH2+DH2

=

17

．

點評：在做一題多變的時候，思路是相通的，能夠把較為復雜的情況和簡單情況建立聯系進行解決．