Question

【題目】如圖，已知，正方形ABCD和一個圓心角為45°的扇形，圓心與A點重合，此扇形繞A點旋轉時，兩半徑分別交直線BC、CD于點P．K．

（1）當點P、K分別在邊BC．CD上時，如圖（1），求證：BP+DK＝PK．

（2）當點P、K分別在直線BC．CD上時，如圖（2），線段BP、DK、PK之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出結論．

（3）在圖（3）中，作直線BD交直線AP、AK于M、Q兩點．若PK＝5，CP＝4，求PM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BP＝DK+PK，理由見解析；（3）PM的長是．

【解析】

（1）延長CD到N，使DN=BP，連接AN，根據正方形的性質和全等三角形的判定SAS證△ABP≌△ADN，推出AN=AP，∠NAD=∠PAB，求出∠NAK=∠KAP=45°，根據SAS證△NAK和△KAP全等即可；
（2）在BC上截取BN=DK，連接AN，與（1）類似證△ADK≌△ABN和△KAP≌△NAP，推出BN=DK，NP=PK即可；
（3）在DC上截取DN=BP，連接AN，與（1）類似證△ADN≌△ABP和△KAP≌△KAN，推出BP=DN，NK=PK，得出DK=PB+PK，求出正方形的邊長，根據勾股定理求出AN、AK、AP，求出∠ABM=∠ACK=135°，∠PAB=∠CAK，證△MAB和△KAC相似，得出比例式，代入求出即可．

（1）證明：延長CD到N，使DN＝BP，連接AN，

∵正方形ABCD，

∴∠ABP＝∠ADC＝90°＝∠BAD，AD＝AB，

∴∠ADN＝90°＝∠ABP，

在△ABP和△ADN中

,

∴△ABP≌△ADN，

∴AN＝AP，∠NAD＝∠PAB，

∵∠BAD＝90°，∠PAK＝45°，

∴∠BAP+∠KAD＝45°，

∴∠NAD+∠DAK＝45°，

即∠NAK＝∠KAP＝45°，

在△NAK和△KAP中

,

∴△PAK≌△NAK，

∴NK＝KP，

∴BP+DK＝PK．

（2）解：BP＝DK+PK，

理由是：在BC上截取BN＝DK，連接AN，

與（1）類似△ADK≌△ABN，

∴AK＝AN，∠KAD＝∠BAN，

∵∠KAP＝45°，

∴∠NAB+∠DAP＝45°，

∴∠NAP＝90°﹣45°＝45°＝∠KAP，

與（1）類似△KAP≌△NAP（SAS），

∴PK＝PN，

∴BP＝BN+NP＝DK+PK，

即BP＝DK+PK．

（3）解：在△CPK中，CP＝4，PK＝5，由勾股定理得：CK＝3，

在DC上截取DN＝BP，連接AN，

由（1）可知：AN＝AP，

與（2）證法類似△NAK≌△PAK，

∴PK＝NK，

∴DK＝PB+PK，

即DC+3＝4﹣BC+5，

∵正方形ABCD，DC＝BC，

解得：AD＝DC＝BC＝AB＝3，

連接AC，

∵正方形ABCD，

∴∠ACB＝∠DBC＝∠MBP＝45°，

∵∠ABC＝∠PCK＝90°，

∴∠ABM＝∠ACK＝45°+90°＝135°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝3，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP＝＝，

在Rt△ADK中，由勾股定理得：AK＝＝3，

∵∠PAK＝∠BAC＝45°，∠BAK＝∠BAK，

∴∠PAB＝∠KAC，

∵∠ABM＝∠ACK，

∴△MAB∽△KAC，

∴，

即＝，

解得：PM＝，

答：PM的長是．