Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，點A，C，D分別為⊙O的三等分點，連接AC，AD，DC，延長AD交BM于點E，CD交AB于點F．

（1）求證：CD∥BM；

（2）連接OE，若DE＝m，求△OBE的周長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】

(1)由 點A、C、D為⊙O的三等分點，可證得△ACD為等邊三角形，AB⊥CD ，BE⊥AB ，可得CD∥BM.

(2) 接DB，如圖, 可得∠C＝60°，∠ABD＝∠C＝60°，∠DBE＝30°，

在Rt△DBE中，BE＝2DE＝2m，DB＝DE＝m．

在Rt△ADB中，AB＝2BD＝2m，則OB＝m，

在Rt△OBE中，OE＝＝m，

可得△OBE周長.

（1）證明：∵點A、C、D為⊙O的三等分點，

∴，

∴AD＝DC＝AC．

∴△ACD為等邊三角形，

而點O為△ACD的外心，

∴AB⊥CD．

∵BM為⊙O的切線，

∴BE⊥AB．

∴CD∥BM；

（2）解：連接DB，如圖，

∵△ACD為等邊三角形，

∴∠C＝60°，

∴∠ABD＝∠C＝60°，

∴∠DBE＝30°，

在Rt△DBE中，BE＝2DE＝2m，DB＝DE＝m．

在Rt△ADB中，AB＝2BD＝2m，則OB＝m，

在Rt△OBE中，OE＝＝m，

∴△OBE周長為2m+m+m＝（2++）m．