Question

【題目】（引例）

如圖1，點A、B、D在同一條直線上，在直線同側作兩個等腰直角三角形△ABC和△BDE，BA＝BC，BE＝BD，連接AE、CD．則AE與CD的關系是　 　．

（模型建立）

如圖2，在△ABC和△BDE中，BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝α，連接AE、CD相交于點H．求證：①AE＝CD；②∠AHC＝α．

（拓展應用）

如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，∠BDC＝90°，BD＝CD，∠BAD＝45°．若AB＝3，AD＝4，求AC2的值．

Answer 1

【答案】（引例）AE＝CD，AE⊥CD（模型建立）證明見解析（拓展應用）41

【解析】

（引例）根據題意可以證明△ABE≌△CBD，進而得出∠AEB＝∠CDB，AE＝CD，據此即可得解；

（模型建立）如圖2中，設AE交BC于點O．證明△ABE≌△CBD（SAS），推出∠EAB＝∠DCB，可得結論．

（拓展應用）如圖3中，作DE⊥DA，截取DE＝DA，連接AE，BE．則∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，證明△EDB≌△ADC（SAS），推出EB＝AC，求出BE2即可解決問題．

解：（引例）結論：AE＝CD，AE⊥CD．

理由：如圖1中，延長AE交CD于F．

∵在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（ASA），

∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB，

∵∠AEB+∠EAB＝90°，

∴∠CDB+∠EAB＝90°，

∴∠AFD＝90°，

∴AE⊥CD．

故答案為AE＝CD，AE⊥CD．

（模型建立）如圖2中，設AE交BC于點O．

∵∠ABC＝∠EBD，

∴∠ABE＝∠CBD，

∵AB＝CB，EB＝DB，

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴∠EAB＝∠DCB，

∵∠OAB+∠AOB+∠ABO＝180°，∠OCH+∠COH+∠OHC＝180°，∠AOB＝∠COH，

∴∠OHC＝∠OBA，即∠AHC＝α．

（拓展應用）如圖3中，作DE⊥DA，截取DE＝DA，連接AE，BE．則∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，

∵∠ADE＝∠BDC＝90°，

∴∠ADC＝∠EDB，

∵DE＝DA，DB＝DC，

∴△EDB≌△ADC（SAS），

∴EB＝AC，

∵∠BAD＝∠EAD＝45°，

∴∠EAB＝∠EAD+∠BAD＝90°，

在Rt△EAB中，AE2+AB2＝BE2，

在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，

∵AD＝4，AB＝3，

∴AE2＝32，BE2＝41，

∴AC2＝BE2＝41．