Question

【題目】探究與發現：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”．

（1）觀察“規形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，∠A=40°，則∠ABX+∠ACX=　 　°；

②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數；

③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①50°；②85°；③63°.

【解析】

（1）延長BD交AC于F，根據外角的性質，即可判斷出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．

（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根據∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值．

②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據∠DAE=40°，∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根據∠DCE（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，即可求出∠DCE的度數．

③根據∠BG1C（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C=70°，設∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD=133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數．

（1）如圖（1），延長BD交AC于F，根據外角的性質，可得：∠DFC=∠A+∠B．

∵∠BDC=∠DFC+∠C，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1），可得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC．

∵∠A=40°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°﹣40°=50°．

故答案為：50．

②由（1），可得：∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE﹣∠DAE=130°﹣40°=90°，∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，∴∠DCE（∠ADB+∠AEB）+∠DAE=45°+40°=85°；

③∠BG1C（∠ABD+∠ACD）+∠A．

∵∠BG1C=70°，∴設∠A為x°．

∵∠ABD+∠ACD=133°﹣x°

∴（133﹣x）+x=70，∴13.3x+x=70，解得：x=63，即∠A的度數為63°．