Question

【題目】如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結論：

①EF⊥AC； ②四邊形ADFE為菱形； ③AD=4AG； ④FH=BD

其中正確的結論有（ ）．

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC.

∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC.

∵F為AB的中點，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB,

∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故①正確，

∵EF⊥AC,∠ACB=90°，∴HF∥BC.

∵F是AB的中點， .

，AB=BD， ，故④說法正確；

∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°,∠BDF=30°.

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF.

∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA(AAS)，∴AE=DF.

∵FE=AB，∴四邊形ADFE為平行四邊形.

∵AE≠EF，∴四邊形ADFE不是菱形；故②說法不正確；

∵四邊形ADFE為平行四邊形,

， .

∵AD=AB，∴AD=4AG，故③說法正確，

所以正確的有：①③④.故選C.