Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D，下列四個結論：

①EF＝BE+CF；

②∠BOC＝90°+∠A；

③點O到△ABC各邊的距離相等；

④設OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn．

其中正確的結論是（　　）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據角平分線的定義與三角形內角和定理，即可求得②∠BOC＝90°+∠A正確；由平行線的性質和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF，故①正確；由角平分線的性質得出點O到△ABC各邊的距離相等，故③正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得③設OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn，故④錯誤．

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正確；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，

∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，

∴BE＝OE，CF＝OF，

∴EF＝OE+OF＝BE+CF，

故①正確；

過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴ON＝OD＝OM＝m，

∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AEOM+AFOD＝OD（AE+AF）＝mn；故④錯誤；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴點O到△ABC各邊的距離相等，故③正確．

故選：A．