Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于點P和圖形W，如果以P為端點的任意一條射線與圖形W最多只有一個公共點，那么稱點P獨立于圖形W．

（1）如圖1，已知點A（-2，0），以原點O為圓心，OA長為半徑畫弧交x軸正半軸于點B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）這四個點中，獨立于的點是 ；

（2）如圖2，已知點C（-3，0），D（0，3），E（3，0），點P是直線l：y=2x+8上的一個動點．若點P獨立于折線CD-DE，求點P的橫坐標xp的取值范圍；

（3）如圖3，⊙H是以點H（0，4）為圓心，半徑為1的圓．點T（0，t）在y軸上且t＞-3，以點T為中心的正方形KLMN的頂點K的坐標為（0，t+3），將正方形KLMN在x軸及x軸上方的部分記為圖形W．若⊙H上的所有點都獨立于圖形W，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P2，P3；（2）xP＜-5或xP＞-．（3）-3＜t＜1-或1+＜t＜7-．

【解析】

（1）根據點P獨立于圖形W的定義即可判斷；

（2）求出直線DE，直線CD與直線y=2x+8的交點坐標即可判斷；

（3）求出三種特殊位置時t的值，結合圖象即可解決問題.

（1）由題意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）這四個點中，獨立于的點是P2，P3．

（2）∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），

∴直線CD的解析式為y=x+3，直線DE的解析式為y=-x+3，

由，解得，可得直線l與直線CD的交點的橫坐標為-5，

由，解得，可得直線l與直線DE的交點的橫坐標為-，

∴滿足條件的點P的橫坐標xp的取值范圍為：xP＜-5或xP＞-．

（3）如圖3-1中，當直線KN與⊙H相切于點E時，連接EH，則EH=EK=1，HK=，

∴OT=KT+HK-OH=3+-4=-1，

∴T（0，1-），此時t=1-，

∴當-3＜t＜1-時，⊙H上的所有點都獨立于圖形W．

如圖3-2中，當線段KN與⊙H相切于點E時，連接EH．

OT=OH+KH-KT=4+-3=1+，

∴T（0，1+），此時t=1+，

如圖3-3中，當線段MN與⊙H相切于點E時，連接EH．

OT=OM+TM=4-+3=7-，

∴T（0，7-），此時t=7-，

∴當1+＜t＜7-時，⊙H上的所有點都獨立于圖形W．

綜上所述，滿足條件的t的值為-3＜t＜1-或1+＜t＜7-．