Question

（2008•郴州）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，BC邊上的高AM=4，E為BC邊上的一個動點（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F．FE與DC的延長線相交于點G，連接DE，DF．
（1）求證：△BEF∽△CEG；
（2）當點E在線段BC上運動時，△BEF和△CEG的周長之間有什么關系？并說明你的理由；
（3）設BE=x，△DEF的面積為y，請你求出y和x之間的函數關系式，并求出當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）有AB∥DG，即可直接得到兩個三角形相似．
（2）兩個三角形的周長之和是定值．利用勾股定理可求出BM=3，又因為Rt△BEF∽Rt△BAM，令BE=x，那么根據相似比，可用含x的代數式分別表示EF，BF，同樣在△CEG中，令CE=y，可用含y的代數式表示CG，EG，又x+y=10，那么能求出兩三角形的周長和是（x+y）=24．
（3）利用相似比、勾股定理可得EF=x，CG=（10-x），那么利用三角形的面積公式，可得到y與x的關系式，再根據二次函數求最大值來求即可．
解答：（1）證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥DG，
所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．

（2）解：△BEF與△CEG的周長之和為定值．
理由一：過點C作FG的平行線交直線AB于H，
因為GF⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF與△CEG的周長之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴
由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24；
理由二：由AB=5，AM=4，可知：
在Rt△BEF與Rt△GCE中，有：EF=BE，BF=BE，GE=EC，GC=CE，
所以，△BEF的周長是BE，△ECG的周長是CE，
又BE+CE=10，因此△BEF與△CEG的周長之和是24．

（3）解：設BE=x，則EF=x，GC=（10-x），
所以y=EF•DG=•x[（10-x）+5]=-x²+x，
配方得：y=-（x-）²+．
所以，當x=時，y有最大值．
最大值為．
點評：本題利用了被兩條平行線所截的兩個三角形相似，相似三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的面積公式，二次函數求最大值的問題．