Question

【題目】已知二次函數 y＝（x－a－2）（x+a）+3．

（1）求該二次函數的圖象的對稱軸．

（2）對于該二次函數圖象上的兩點 P（x1，y1）、Q（x2，y2）．

①當 x≥m 時，y 隨 x 的增大而增大，寫出一個符合條件的 m 值；

②當 m≤x2≤m+2，當 x1≤﹣1 時，均有 y1≥y2，求 m 的取值范圍；

（3）當二次函數過（0，3）點時，且與直線 y=kx+2 交于 A、B 兩點，其中有一交點的橫坐標 x0 滿足 1＜x0＜3， 求 k 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x=1；（2）①m值可以為2；②-1≤m≤1；（3）

【解析】

（1）首先把原二次函數化成y=（x-1）2-a2-2a+2，由此可得該二次函數的圖象的對稱軸；

（2）①根據二次函數的開口方向和對稱軸可知y隨x的增大而增大時，x的取值范圍，從而可得符合條件的m值；

②首先得出當x1=-1，y1=y2時，x2=3，然后根據當x1≤-1時，均有y1≥y2，可得一個不等式組，解出即可；

（3）首先根據二次函數過（0，3）點，求出a的值，于是可得該二次函數的解析式，然后計算出直線x=1，直線x=3與二次函數y=x2-2x+3的交點坐標，得到直線DE的解析式為y=2，k1=0，設DF所在直線解析式為y=k2x+2，把（3，6）代入得k2=即可得出結論.

解：（1）因為y=（x-a-2）（x+a）+3，

∴y=（x-1）2-a2-2a+2，

∴該二次函數的圖象的對稱軸為x=1；

（2）①∵該二次函數開口向上，對稱軸為x=1，

∴x≥1時，y隨x的增大而增大，

∴m≥1的數都可以，

因此符合條件的m值可以為2；

②∵該二次函數的圖象的對稱軸為x=1，

∴當x1=-1，y1=y2時，x2=3，

∴當x1≤-1時，均有y1≥y2，

則-1≤x2≤3，

∴，

解得-1≤m≤1；

（3）當二次函數過（0，3）點時，

則有3=（0-1）2-a2-2a+2，

解得a=0或-2，

∴該二次函數的解析式為y=x2-2x+3，

如圖：

直線x=1，直線x=3分別與二次函數y=x2-2x+3交E、F兩點，

易得E（1，2），F（3，6），

直線y=kx+2與y軸交于D點，D（0，2），

∵二次函數y=x2-2x+3與直線y=kx+2交于A、B兩點，其中有一交點的橫坐標滿足1＜x0＜3，

直線y=kx+2與二次函數y=x2-2x+3的EF間有一交點，

直線DE的解析式為y=2，k1=0，設DF所在直線的解析式為y=k2x+2，把（3，6）代入得k2=，

∴k1<k<k2，即.