Question

【題目】如圖，已知△ABC中∠BAC=135°，點E，點F在BC上，EM垂直平分AB交AB于點M，FN垂直平分AC交AC于點N，BE=12，CF=9．

（1）判斷△EAF的形狀，并說明理由；

（2）求△EAF的周長．

Answer 1

【答案】（1）△EAF為直角三角形．理由見解析；（2）△EAF的周長=36．

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的性質得出BE=AE，AF=CF，再由∠BAC=135°得出∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣135°=45°，故∠BAE+∠CAF=45°，∠EAF=135°﹣45°=90°由此可得出結論；

（2）由（1）知△EAF是直角三角形，再根據勾股定理求出EF的長，進而可得出結論．

（1）△EAF為直角三角形．

∵EM是AB的垂直平分線，

∴BE=AE，

∴∠BAE=∠B．

∵FN是AC的垂直平分線，

∴AF=CF，

∴∠CAF=∠C

．∵∠BAC=135°，

∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣135°=45°，

∴∠BAE+∠CAF=45°，

∴∠EAF=135°﹣45°=90°，

∴△EAF為直角三角形；

（2）在△EAF中，

∵∠EAF=90°，

∴EF2=AE2+AF2，

∵BE=12，CF=9，

∴EF2=122+92=225，

∴EF=15，

∴△EAF的周長=12+9+15=36．

故答案為：（1）△EAF為直角三角形．理由見解析；（2）△EAF的周長=36．