Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線．以O為圓心，OC為半徑作⊙O．

（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）已知AO交⊙O于點E，延長AO交⊙O于點D，tanD= ，求 的值．
（3）在（2）的條件下，設⊙O的半徑為3，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，過點O作OF⊥AB于點F，

∵AO平分∠CAB，

OC⊥AC，OF⊥AB，

∴OC=OF，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接CE，

∵ED是⊙O的直徑，

∴∠ECD=90°，

∴∠ECO+∠OCD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ECO=90°，

∴∠ACE=∠OCD，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ACE=∠ODC，

∵∠CAE=∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴ ，

∵tan∠D= ，

∴ = ，

∴ =

（3）解：由（2）可知： = ，

∴設AE=x，AC=2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴ ，

∴AC2=AEAD，

∴（2x）2=x（x+6），

解得：x=2或x=0（不合題意，舍去），

∴AE=2，AC=4，

由（1）可知：AC=AF=4，

∠OFB=∠ACB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△OFB∽△ACB，

∴ = ，

設BF=a，

∴BC= ，

∴BO=BC﹣OC= ﹣3，

在Rt△BOF中，

BO2=OF2+BF2，

∴（ ﹣3）2=32+a2，

∴解得：a= 或a=0（不合題意，舍去），

∴AB=AF+BF= ．

【解析】（1）證AB是⊙O的切線，需要證明AB垂直半徑，為此過點O作OF⊥AB于點F，再證明OF是半徑可得證；
（2）連接CE，先證明△ACE∽△ADC，從而利用相似三角形的對應邊成比例得到，再由tan∠D的值可求得答案；
（3）由△ACE∽△ADC，再利用相似三角形的對應邊成比例得到AE、AC的長，設BF=a，再證明△OFB∽△ACB，利用相似三角形的對應邊成比例可用a表示出BO，在Rt△BOF中，由勾股定理可求出a的值，進而求解.