Question

【題目】如圖，中，，若點從點出發，以每秒1 cm的速度沿折線運動，設運動時間為秒(>0).

(1)若點在上，且滿足，求此時的值;

(2)若點恰好在的角平分線上，求此時的值;

(3)在運動過程中，當為何值時，為等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或5；（3）或3或或6.

【解析】

（1）設PC=x，可知，PA=PB=4-x，根據勾股定理列出關于x的方程，進而，可以求出t的值；

（2）設PD=PC=y，則AP=3-y，在RtADP中，根據勾股定理，列出方程，進而可求出t的值；

（3）分四種情況：當P在AB上且AP=CP時，當P在AB上且AP=AC=3時，當P在AB上且AC=PC時，當P在BC上且AC=PC=3時，分別根據等腰三角形的性質，即可求出t的值.

（1）∵點P在BC上，連接AP，

在RtABC中，AC=,

設PC=x，

∵PA=PB，

∴PA=PB=4-x，

∵在RtAPC中，，

∴，解得：，

∴，

∴AB+BP=5+=，

∴t=÷1=；

（2）過點P作PD⊥AB于點D，

∵BP平分∠ABC，∠C=90°，

∴PD=PC，BC=BD=4，

∴AD=5-4=1，

設PD=PC=y，則AP=3-y，

在RtADP中，，

∴，解得：，

∴PC=,

∴t=

當點P與點B重合時，點P也在∠ABC的角平分線上，此時，t=5÷1=5；

綜上所述，點P在∠ABC的角平分線上時，t 的值為或5s；

（3）分四種情況：

①如圖，當P在AB上且AP=CP時，

∠A=∠ACP，而∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠B=∠BCP，

∴CP=BP,

∴P是AB的中點，即AP==，

∴t=÷1=；

②如圖，當P在AB上且AP=AC=3時，

t=3÷1=3；

③當P在AB上且AC=PC時，過點C作CD⊥AB于點D，則=，

∴在RtACD中，由勾股定理得；AD=，

∴AP=2AD=2×=，

∴t=÷1=

④當P在BC上且AC=PC=3時，BP=4-3=1，

∴t=；

綜上所述，當t=或3或或6s時，ACP是等腰三角形.