Question

【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，連接BD．現將一個足夠大的直角三角板的直角頂點P放在BD所在的直線上，一條直角邊過點C，另一條直角邊與AB所在的直線交于點G．

（1）是否存在這樣的點P，使點P、C、G為頂點的三角形與△GCB全等？若存在，畫出圖形，并直接在圖形下方寫出BG的長．（如果你有多種情況，請用①、②、③、…表示，每種情況用一個圖形單獨表示，如果圖形不夠用，請自己畫圖）
（2）如圖（2），當點P在BD的延長線上時，以P為圓心、PB為半徑作圓分別交BA、BC延長線于點E、F，連EF，分別過點G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N為垂足．試探究PM與FN的關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：存在點P，使點P、C、G為頂點的三角形與△GCB全等．

①若點G在線段AB上，如圖①．

當BG=PC時，根據HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，

此時∠GCB=∠CGP，

∴PG∥BC，

∴∠GPC+∠PCB=90°．

∵∠GPC=90°，

∴∠PCB=90°，

∴點P在點D處，

∴BG=PC=DC=AB=3；

②若點G在線段AB的延長線上，如圖②．

當BG=PC時，根據HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，

此時BC=PG，∠GCB=∠CGP，

∴OG=OC，OB=OP，

∴∠PBO=∠BPO= （180°﹣∠BOP），

∠OCG=∠OGC= （180°﹣∠GOC）．

∵∠BOP=∠GOC，

∴∠PBO=∠OCG，

∴BD∥CG．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，即BG∥DC，

∴四邊形BGCD是平行四邊形，

∴BG=CD=3；

③若點G在線段AB的反向延長線上，如圖③．

當PC=BC時，根據HL可得Rt△GBC≌Rt△GPC，

此時BG=PG，

∴點G、C在BP的垂直平分線上，

∴GC垂直平分BP，

∴∠BGC+∠GBD=90°．

∵∠CBD+∠GBD=90°，

∴∠BGC=∠CBD．

又∵∠GBC=∠BCD=90°，

∴△GCB∽△BDC，

∴ ．

∵BC=4，CD=3，

∴ = ，

∴BG= ；

（2）解：如圖2，

由（1）可知，此時△GBC≌△GPC，且BG=PG= ，BC=PC=4．

∵GM⊥EF，CN⊥EF，

∴∠GMP=∠PNC=90°，

∴∠MGP+∠GPM=90°．

∵∠GPC=90°，

∴∠GPM+∠NPC=90°，

∴∠MGP=∠NPC，

∴△PGM∽△CPN，

∴ ．

∴ = ，即PM= CN．

∵PB=PF，∴∠F=∠PBC．

又∵∠FNC=∠BCD=90°，

∴△FNC∽△BCD，

∴ ．

∵BC=4，DC=3，

∴ ，

∴FN= CN，

∴PM=FN．

【解析】（1）當BG=PC時，根據HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，此時∠GCB=∠CGP，得到PG∥BC，∠GPC+∠PCB=90°；由∠GPC=90°，∠PCB=90°，點P在點D處，得到BG=PC=DC=AB=3；（2）由（1）可知，此時△GBC≌△GPC，知道BG=PG，BC=PC的值，根據兩角對應相等兩三角形相似，得到△PGM∽△CPN，得到比例，得到△FNC∽△BCD，得到比例，得到PM=FN．
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓心角、弧、弦的關系(在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．