Question

拋物線對稱軸為直線x=4，且過點O（0，0），B（-2，-10），A是拋物線與x軸另一個交點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）如圖，點C從O點出發，沿x軸以每秒鐘一個單位的速度運動，矩形CDEF內接于拋物線，C、D在x軸上，E、F在拋物線上，運動時間t（0＜t＜4）為何值時，內接矩形CDEF的周長最長？并求周長的最大值；
（3）在（2）中內接矩形CDEF的周長取得最大的條件下，x軸上是否存在點P使△PEF為直角三角形（P為直角頂點）？若存在，請求P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由對稱軸x=4及過點O（0，0），可得A（8，0），設交點式y=ax（x-8），將B（-2，-10）代入，可求拋物線解析式；
（2）由已知得C（t，0），用拋物線解析式表示CF，由拋物線的對稱性可知D（8-t，0），則CD=8-2t，可表示矩形CDEF的周長，運用二次函數的性質求周長的最大值；
（3）不存在．由（2）的結論求E、F兩點坐標，以EF為直徑畫圓，判斷這個圓與x軸無交點即可．

解答：解：（1）∵拋物線對稱軸為x=4，又過點O（0，0），
∴A（8，0），
設拋物線解析式為y=ax（x-8），將B（-2，-10）代入，得a=-

1

2

，
∴拋物線解析式為y=-

1

2

x（x-8）=-

1

2

x²+4x；

（2）∵C（t，0），
∴F（t，-

1

2

t²+4t），
∴CF=-

1

2

t²+4t，
由拋物線的對稱性可知D（8-t，0），
∴CD=8-t-t=8-2t，
∴矩形CDEF的周長=2（CF+CD）=2（-

1

2

t²+4t+8-2t）=-t²+4t+16，
∵-1＜0，二次函數-t²+4t+16開口向下，
∴當t=2時，矩形CDEF的周長最大值為20；

（3）不存在．
當t=2時，F（2，6），E（6，6），
∴EF=6-2=4，EF與x軸的距離為6，
以EF為直徑的圓與x軸沒有交點，
∴不存在點P，使△PEF為直角三角形（P為直角頂點）．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據拋物線及矩形的對稱性求點的坐標，確定拋物線解析式，再表示矩形各頂點坐標及矩形的邊長，利用二次函數的性質求解．