Question

【題目】動手實驗：利用矩形紙片(如圖1)剪出一個正六邊形紙片；再利用這個正六邊形紙片做一個無蓋的正六棱柱(棱柱底面為正六邊形) ，如圖2．

(1) 做一個這樣的正六棱柱所需最小的矩形紙片的長與寬的比為多少？

(2) 在(1)的條件下，當矩形的長為2a時，要使無蓋正六棱柱側面積最大，正六棱柱的高為多少？并求此時矩形紙片的利用率為多少？

Answer 1

【答案】(1)、2：；(2)、

【解析】

試題分析：(1)、首先根據題意畫出圖形，然后分別求出矩形的長和寬與正六邊形半徑長的關系，得出比值；(2)、分別求出正六棱柱和矩形紙片的面積，然后得出比值.

試題解析：(1)如圖所示：

由于正六邊形內角和為(6﹣2)×180°＝720°，則其一角的角平分線所分的兩個角同為60°；

設所需矩形的長寬分別為A、B，剪出的正六邊形半徑長為L，那么

A=2L，B=2Lsin60°＝L；

因此，所求長寬比為A：B＝(2L)：(L)＝2：．

做一個這樣的正六棱柱所需最小的矩形紙片的長與寬的比為：2：；

(2)∵矩形的長為2a， ∴正六邊形邊長為a，其面積為：設高為x，S=

當x=時，S=， 此時，底面積，

∴六棱柱的面積為+=

∵矩形的面積=，

∴利用率==