Question

【題目】問題背景：已知在△ABC中，邊AB上的動點D由A向B運動（與A，B不重合），同時點E由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點，求 的值．
（1）初步嘗試
如圖（1），若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D、E的運動速度相等，小王同學發現可以過點D作DG∥BC交AC于點G，先證GH=AH，再證GF=CF，
從而求得 的值為 ．

（2）類比探究
如圖（2），若△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且點D，E的運動速度之比是 ：1，求 的值．

（3）延伸拓展
如圖（3）若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記 =m，且點D、E的運動速度相等，試用含m的代數式表示 的值（直接寫出果，不必寫解答過程）．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）

解：如圖（2）過點D作DG∥BC交AC于點G，

則∠ADG=∠ABC=90°．

∵∠BAC=∠ADH=30°，

∴AH=DH，∠GHD=∠BAC+∠ADH=60°，

∠HDG=∠ADG﹣∠ADH=60°，

∴△DGH為等邊三角形．

∴GD=GH=DH=AH，AD=GDtan60°= GD．

由題意可知，AD= CE．

∴GD=CE．

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF．

在△GDF與△CEF中， ，

∴△GDF≌△CEF（AAS），

∴GF=CF．

GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF，

∴HF= AC=2，即 ．

（3）

解： = ．理由如下：

如圖（3），過點D作DG∥BC交AC于點G，

易得AD=AG，AD=EC，∠AGD=∠ACB．

在△ABC中，∵∠BAC=∠ADH=36°，AB=AC，

∴AH=DH，∠ACB=∠B=72°，∠GHD=∠HAD+∠ADH=72°．

∴∠AGD=∠GHD=72°．

∵∠GHD=∠B=∠HGD=∠ACB，

∴△ABC∽△DGH．

∴ ，

∴GH=mD H=mA H．

由△ADG∽△ABC可得 ．

∵DG∥BC，

∴ ．

∴FG=mFC．

∴GH+FG=m（AH+FC）=m（AC﹣HF），

即HF=m（AC﹣HF）．

∴ = ．

【解析】解：（1）過點D作DG∥BC交AC于點G，如圖（1）所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AGD是等邊三角形，
∴AD=GD，
由題意知：CE=AD，
∴CE=GD
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF與△CEF中， ，
∴△GDF≌△CEF（AAS），
∴CF=GF，
∵DH⊥AG，
∴AH=GH，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF），
HF=GH+GF，
∴ =2；
故答案為：2；
（1）過點D作DG∥BC交AC于點G，由題意知△AGD是等邊三角形，所以AD=GD，所以可以證明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由三線合一可知：AH=GH，即可得出所求答案；（2）過點D作DG∥BC交AC于點G，由點D，E的運動速度之比是 ：1可知GD=CE，所以可以證明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°可知：AH=DH，即可得出答案；（3）類似（1）（2）的方法可求出 =m和 =m，然后利用GH+FG=m（AH+FC）=m（AC﹣HF）即可求出 的值．