Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣x+3（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為直線x=﹣2．
（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）若點P（0，t）是y軸上的一個動點，請進行如下探究： 探究一：如圖1，設△PAD的面積為S，令W=tS，當0＜t＜4時，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時t的值；如果沒有，說明理由；

探究二：如圖2，是否存在以P、A、D為頂點的三角形與Rt△AOC相似？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，請說明理由．（參考資料：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）對稱軸是直線x= ）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2﹣x+3（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣2．

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∴D（﹣2，4）

（2）解：探究一：當0＜t＜4時，W有最大值．

∵拋物線 交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，

∴A（﹣6，0），B（2，0），C（0，3），

∴OA=6，OC=3．

當0＜t＜4時，作DM⊥y軸于M，

則DM=2，OM=4．

∵P（0，t），

∴OP=t，MP=OM﹣OP=4﹣t．

∵S三角形PAD=S梯形OADM﹣S三角形AOP﹣S三角形DMP

=

=

=12﹣2t

∴W=t（12﹣2t）=﹣2（t﹣3）2+18

∴當t=3時，W有最大值，W最大值=18．

探究二：

存在．分三種情況：

①當∠P1DA=90°時，作DE⊥x軸于E，

則OE=2，DE=4，∠DEA=90°，

∴AE=OA﹣OE=6﹣2=4=DE．

∴∠DAE=∠ADE=45°， ，

∴∠P1DE=∠P1DA﹣∠ADE=90°﹣45°=45度．

∵DM⊥y軸，OA⊥y軸，

∴DM∥OA，

∴∠MDE=∠DEA=90°，

∴∠MDP1=∠MDE﹣∠P1DE=90°﹣45°=45度．

∴P1M=DM=2， ．

此時 ，

又因為∠AOC=∠P1DA=90°，

∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，

∴OP1=OM﹣P1M=4﹣2=2，

∴P1（0，2）．

∴當∠P1DA=90°時，存在點P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，

此時P1點的坐標為（0，2）

②當∠P2AD=90°時，則∠P2AO=45°，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴△P2AD與△AOC不相似，此時點P2不存在．

③當∠AP3D=90°時，以AD為直徑作⊙O1，則⊙O1的半徑 ，

圓心O1到y(tǒng)軸的距離d=4．

∵d＞r，

∴⊙O1與y軸相離．

不存在點P3，使∠AP3D=90度．

∴綜上所述，只存在一點P（0，2）使Rt△ADP與Rt△AOC相似．

【解析】（1）由拋物線的對稱軸求出a，就得到拋物線的表達式了；（2）①下面探究問題一，由拋物線表達式找出A，B，C三點的坐標，作DM⊥y軸于M，再由面積關系：SPAD=S梯形OADM﹣SAOP﹣SDMP得到t的表達式，從而W用t表示出來，轉化為求最值問題．②難度較大，運用分類討論思想，可以分三種情況：（1）當∠P1DA=90°時；（2）當∠P2AD=90°時；（3）當AP3D=90°時；思路搞清晰問題就好解決了．